符号表示
编辑
尽管可以使用其他表示法，复数通常写为如下形式：
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
这裡的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是实数，而i是虛數單位，它有着性质
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。实数
a
{\displaystyle a}
叫做复数的实部，而实数
b
{\displaystyle b}
叫做复数的虚部。实数可以被认为是虚部为零的复数；就是说实数
a
{\displaystyle a}
等价于复数
a
+
0
i
{\displaystyle a+0i}
。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”；而实部不為零且虚部也不为零的复数也被称作“非純虚数”或“雜虛數”。
例如，
3
+
2
i
{\displaystyle 3+2i}
是复数，它的实部为3虚部为2。如果
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
，则实部（
a
{\displaystyle a}
）被指示为
Re
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
或
ℜ
(
z
)
{\displaystyle \Re (z)}
，而虚部（
b
{\displaystyle b}
）被指示为
Im
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
或
ℑ
(
z
)
{\displaystyle \Im (z)}
。
在某些领域（特别是电子工程，这裡的i是电流的符号）中，虚部
i
{\displaystyle i}
被替代写为
j
{\displaystyle j}
，所以复数有时写为
a
+
j
b
{\displaystyle a+jb}
。
所有复数的集合通常指示为
C
{\displaystyle C}
，或者用黑板粗体（英语：Blackboard bold）写为
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
。实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
可以被当作
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的子集，通过把实数的所有成员当作复数：
a
=
a
+
0
i
{\displaystyle a=a+0i}
。
等量关系
编辑
复数中的虚数是无法比较大小的，即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的，当且仅当它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说，設
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
,
d
{\displaystyle d}
為實數，則
a
+
b
i
=
c
+
d
i
{\displaystyle a+bi=c+di}
当且仅当
a
=
c
{\displaystyle a=c}
并且
b
=
d
{\displaystyle b=d}
。
运算
编辑
通过形式上应用代数的结合律、交换律和分配律，再加上等式
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
，定义复数的加法、减法、乘法和除法:
加法：
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
减法：
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
乘法：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
除法：
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
−
a
d
i
−
b
d
i
2
c
2
−
(
d
i
)
2
=
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}&={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}\\&={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\end{aligned}}}
複數體
编辑
複數可定義為實數
a
,
b
{\displaystyle a,b}
組成的有序對，而其相關之和及積為：
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
，
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
b
c
+
a
d
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}
，
複數數系是一個體，複數體常以
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
來表示。
一個實數
a
{\displaystyle a}
等同於複數
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
，故實數體為複數體的子體。虛數單位
i
{\displaystyle i}
就是複數
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
。此外，還有:
加法单位元（“零元”）:
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
乘法单位元（“幺元”）:
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的加法逆元:
(
−
a
,
−
b
)
{\displaystyle (-a,-b)}
非零
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的乘法逆元（倒数）:
(
a
a
2
+
b
2
,
−
b
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right)}
。
複數體亦可定為代數數的拓撲閉包或實數體的代數閉包。
複數平面
编辑
主条目：複數平面
先把坐标轴画出来，横的叫实轴，竖的叫虚轴，然后确定0的位置，
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
可以用二维空间来表示出来。
复数
z
{\displaystyle z}
可以被看作在被称为阿甘得图（得名於让-罗贝尔·阿冈，也叫做高斯平面）的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数
z
{\displaystyle z}
可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部
x
=
ℜ
z
{\displaystyle x=\Re z}
和虚部
y
=
ℑ
z
{\displaystyle y=\Im z}
。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。
絕對值、共軛與距離
编辑
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
，则
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
是
z
{\displaystyle z}
的「絕對值」（「模」、「幅值」、「大小」）。如果
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
，則
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
.
對所有
z
{\displaystyle z}
及
w
{\displaystyle w}
，有
|
z
|
−
|
w
|
≤
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z|-|w|\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z|\;|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
當定義了距離
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
{\displaystyle d(z,w)=\left|z-w\right|}
，複數體便成了度量空间，我們亦可談極限和連續。加法、乘法及除法都是連續的運算。
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
的共軛複數定義為
z
=
a
−
i
b
{\displaystyle z=a-ib}
，記作
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
或
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
。如圖所示，
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
是
z
{\displaystyle z}
关于實數轴的「对称点」。有
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
z
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {z}}=z}
當且僅當
z
{\displaystyle z}
是實數
|
z
|
=
|
z
¯
|
{\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
|
z
|
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
（“複數和其共軛值相乘等於其大小平方值”）
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
−
2
{\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}|z|^{-2}}
若
z
{\displaystyle z}
非零。這是計算乘法逆最常用的等式。
對於所有代數運算
f
{\displaystyle f}
，共軛值是可交換的。這即是說
f
(
z
¯
)
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
。一些非代數運算如正弦「
sin
{\displaystyle \sin }
」亦有此性質。這是由於
i
{\displaystyle i}
的不明確選擇——
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
有二解。可是，共軛值是不可微分的（參見全纯函数）。
一複數
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
的「幅角」或「相位」為
ϕ
{\displaystyle \phi }
。此值對模
2
π
{\displaystyle 2\pi }
而言是唯一的。
對於乘法和除法分別有：
r
e
α
i
s
e
β
i
=
(
r
s
)
e
(
α
+
β
)
i
{\displaystyle \,re^{\alpha i}se^{\beta i}=(rs)e^{(\alpha +\beta )i}}
（即“模值相乘，幅角相加”或“大小相乘，相位相加”）
r
e
α
i
s
e
β
i
=
r
s
e
(
α
−
β
)
i
{\displaystyle \,{\frac {re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}}={\frac {r}{s}}e^{(\alpha -\beta )i}}
（即“模值相除，幅角相减”或“大小相除，相位相減”)
複數的三角函數運算
编辑
z
=
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle z=(x+iy)}
sin
z
=
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
{\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}
cos
z
=
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
{\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}
tan
z
=
sin
z
cos
z
=
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
{\displaystyle \tan {z}={\frac {\sin {z}}{\cos {z}}}={\frac {\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}{\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}}}
cot
z
=
1
tan
z
=
cos
z
sin
z
=
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
{\displaystyle \cot {z}={\frac {1}{\tan {z}}}={\frac {\cos {z}}{\sin {z}}}={\frac {\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}{\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}}}
sec
z
=
1
cos
z
=
1
cos
x
cosh
x
−
i
sin
y
sinh
y
=
cos
x
cosh
x
(
cos
x
cosh
x
)
2
+
(
sin
y
sinh
y
)
2
+
i
sin
y
sinh
y
(
cos
x
cosh
x
)
2
+
(
sin
y
sinh
y
)
2
=
cos
z
¯
|
cos
z
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec {z}&={\frac {1}{\cos {z}}}={\frac {1}{\cos {x}\cosh {x}-i\sin {y}\sinh {y}}}\\&={\frac {\cos {x}\cosh {x}}{\left(\cos {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\sin {y}\sinh {y}\right)^{2}}}+i{\frac {\sin {y}\sinh {y}}{\left(\cos {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\sin {y}\sinh {y}\right)^{2}}}\\&={\frac {\cos {\bar {z}}}{\left\vert \cos {z}\right\vert ^{2}}}\end{aligned}}}
csc
z
=
1
sin
z
=
1
sin
x
cosh
x
+
i
cos
y
sinh
y
=
sin
x
cosh
x
(
sin
x
cosh
x
)
2
+
(
cos
x
sinh
x
)
2
+
i
−
cos
x
sinh
x
(
sin
x
cosh
x
)
2
+
(
cos
x
sinh
x
)
2
=
sin
z
¯
|
sin
z
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\csc {z}&={\frac {1}{\sin {z}}}={\frac {1}{\sin {x}\cosh {x}+i\cos {y}\sinh {y}}}\\&={\frac {\sin {x}\cosh {x}}{\left(\sin {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\cos {x}\sinh {x}\right)^{2}}}+i{\frac {-\cos {x}\sinh {x}}{\left(\sin {x}\cosh {x}\right)^{2}+\left(\cos {x}\sinh {x}\right)^{2}}}\\&={\frac {\sin {\bar {z}}}{\left\vert \sin {z}\right\vert ^{2}}}\end{aligned}}}
反函數:
arcsin
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
+
z
2
)
{\displaystyle \arcsin {z}=-i\ln {\left(iz+{\sqrt {1+z^{2}}}\right)}}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
−
i
ln
(
z
+
z
2
−
1
)
{\displaystyle \arccos {z}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {z}=-i\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}}
arctan
z
=
i
2
ln
(
1
−
i
z
1
+
i
z
)
{\displaystyle \arctan {z}={\frac {i}{2}}\ln {\left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}}
arccot
z
=
i
2
ln
(
z
+
i
z
−
i
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} {z}={\frac {i}{2}}\ln {\left({\frac {z+i}{z-i}}\right)}}
arcsec
z
=
arccos
1
z
=
−
i
ln
(
1
z
+
1
z
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} {z}=\arccos {\frac {1}{z}}=-i\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)}}
arccsc
z
=
arcsin
1
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
+
1
z
2
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} {z}=\arcsin {\frac {1}{z}}=-i\ln {\left({\frac {i}{z}}+{\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)}}
複數的雙曲函數運算
编辑
z
=
(
x
+
i
y
)
{\displaystyle z=(x+iy)}
sinh
z
=
e
z
−
e
−
z
2
{\displaystyle \sinh {z}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}
cosh
z
=
e
z
+
e
−
z
2
{\displaystyle \cosh {z}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}
tanh
z
=
sinh
z
cosh
z
=
e
z
−
e
−
z
e
z
+
e
−
z
{\displaystyle \tanh {z}={\frac {\sinh {z}}{\cosh {z}}}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}}
coth
z
=
1
tan
z
=
cosh
z
sinh
z
=
e
z
+
e
−
z
e
z
−
e
−
z
{\displaystyle \coth {z}={\frac {1}{\tan {z}}}={\frac {\cosh {z}}{\sinh {z}}}={\frac {e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}}}
sech
z
=
1
cosh
z
=
2
e
z
+
e
−
z
{\displaystyle \operatorname {sech} {z}={\frac {1}{\cosh {z}}}={\frac {2}{e^{z}+e^{-z}}}}
csch
z
=
1
sinh
z
=
2
e
z
−
e
−
z
{\displaystyle \operatorname {csch} {z}={\frac {1}{\sinh {z}}}={\frac {2}{e^{z}-e^{-z}}}}
反函數:
arcsinh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsinh} {z}=\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right)}}
arccosh
z
=
ln
(
z
+
z
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arccosh} {z}=\ln {\left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}}
arctanh
z
=
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
2
{\displaystyle \operatorname {arctanh} {z}={\frac {\ln {\left({\frac {1+z}{1-z}}\right)}}{2}}}
arccoth
z
=
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
2
{\displaystyle \operatorname {arccoth} {z}={\frac {\ln {\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)}}{2}}}
arcsech
z
=
arccosh
1
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsech} {z}=\operatorname {arccosh} {\frac {1}{z}}=\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)}}
arccsch
z
=
arcsinh
1
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arccsch} {z}=\operatorname {arcsinh} {\frac {1}{z}}=\ln {\left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\right)}}
复数运算的几何解释
编辑
X = A + B
X = AB
X = A*
考虑一个平面。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A和B的和是点X = A + B使得顶点0, A, B的三角形和顶点X, B, A的三角形是全等的。
两个点A和B的积是点X = AB使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, B, X的三角形是相似的。
点A的共轭复数是点X = A*使得顶点0, 1, A的三角形和顶点0, 1, X的三角形相互是镜像。